© 2020 受験辞典 All rights reserved. 具体例(不定積分) 具体例(定積分) 練習問題; まとめ 【裏ワザ】部分積分の公式を暗記しない. この記事では「部分分数分解」について、公式ややり方をできるだけわかりやすく解説していきます。, 積分や数列などで部分分数分解を使った応用問題も解説しているので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!, 部分分数分解とは、1 つの分数をいくつかの分数の足し算や引き算に式変形することです。, このように部分分数分解を行うことで、分母と分子がシンプルな分数として表すことができます。, 部分分数分解は単なる式変形ではなく、積分や数列の分野で答えを求める際のテクニックとしても使われます。, 基本的にどんな分数でも部分分数分解できますが、よく出てくるのは次の 5 つのパターンです。, ① \(\color{red}{\displaystyle \frac{px + q}{(x + a)(x + b)} = \frac{A}{x + a} + \frac{B}{x + b}}\), ② \(\color{red}{\displaystyle \frac{px + q}{(ax + b)(cx + d)} = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{cx + d}}\), ③ \(\color{red}{\displaystyle \frac{px + q}{(ax + b)^2} = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{(ax + b)^2}}\), ④ \(\color{red}{\displaystyle \frac{px^2 + qx + r}{(ax + b)^2 (cx + d) }}\) \(\color{red}{\displaystyle = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{(ax + b)^2} + \frac{C}{cx + d}}\), ⑤ \(\color{red}{\displaystyle \frac{px^2 + qx + r}{(ax + b)(cx^2 + dx + e) }}\) \(\color{red}{\displaystyle = \frac{A}{ax + b} + \frac{Bx + C}{cx^2 + dx + e}}\), (ただし、分子が \(0\) でない、つまり分子の \(p\) , \(q\) , \(r\) のいずれか 1 つが \(0\) でない), 分母が因数分解されたかたちであれば、それぞれの因数を分母にもつ分数に分解できる、ということですね。, 公式③や④のように、分母に同じ因数を 2 つもつ場合は、その因数の \(1\) 乗と \(2\) 乗を分母にもつ分数に分解することを覚えておきましょう。, \(\displaystyle \frac{3}{x(x + 3)}\) を部分分数分解せよ。, \(\displaystyle \frac{3}{x(x + 3)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 3}\) …(*), \(\left\{\begin{array}{l} A + B = 0 \text{…①}\\ 3A = 3 \text{…②}\end{array}\right.\), あとは (*) に \(A\), \(B\) の値を代入すれば、部分分数分解の完成です!, \(\displaystyle \frac{3}{x(x + 3)} = \color{red}{\frac{1}{x} − \frac{1}{x + 3}}\), \(\displaystyle \frac{8x^2 − 5x + 2}{x(2x − 1)^2}\) を部分分数分解せよ。, \(\displaystyle \frac{8x^2 − 5x + 2}{x(2x − 1)^2} \) \(\displaystyle = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x − 1} + \frac{C}{(2x − 1)^2}\) …(*), \(8x^2 − 5x + 2 \) \(= A(2x − 1)^2 + Bx(2x − 1) + Cx\), 右辺の \(x\) を含む項が \(0\) になるような \(x\) の値を代入していきます。, \(\color{salmon}{\displaystyle x = \frac{1}{2}, 0, 1}\) をそれぞれ代入すると、, \(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{3}{2} = \frac{C}{2} \text{…①}\\ 2 = A \text{…②}\\ 5 = A + B + C \text{…③}\end{array}\right.\), \(\begin{align} B &= 5 − A − C \\ &= 5 − 2 − 3 \\ &= 0 \end{align}\), 最後に \(A\), \(B\), \(C\) の値を (*) に戻せば、部分分数分解の完成です。, \(\displaystyle \frac{8x^2 − 5x + 2}{x(2x − 1)^2} = \color{red}{\frac{2}{x} + \frac{3}{(2x − 1)^2}}\), 係数比較法と数値代入法、どちらの解き方でも問題なく求めることができますが、オススメの使い分けは次のとおりです。, 分母の次数が増えるほど、係数比較のために右辺を降べきの順に並べる手間が増えていきます。, 次数が多い場合は、両辺の分母を払ったあとすぐに数値代入法を使ってみると比較的楽に計算できますよ!, \(\displaystyle \frac{1}{(x − 3)(x − 7)}\) を部分分数分解せよ。, \(\displaystyle \frac{1}{(x − 3)(x − 7)} = \frac{A}{x − 3} + \frac{B}{x − 7}\), \(\left\{\begin{array}{l} A + B = 0 \text{…①}\\ −7A − 3B = 1 \text{…②}\end{array}\right.\), よって \(\displaystyle B = −A = \frac{1}{4}\), \(\begin{align} &\frac{1}{(x − 3)(x − 7)} \\ &= −\frac{1}{4} \frac{1}{x − 3} + \frac{1}{4} \frac{1}{x − 7} \\ &= −\frac{1}{4} \left( \frac{1}{x − 3} − \frac{1}{x − 7} \right) \end{align}\), 答え: \(\displaystyle \frac{1}{(x − 3)(x − 7)} =  −\frac{1}{4} \left( \frac{1}{x − 3} − \frac{1}{x − 7} \right)\), \(\displaystyle \frac{4}{(x + 1)^2(x − 3)}\) を部分分数分解せよ。, \(\displaystyle \frac{4}{(x + 1)^2(x − 3)} \) \(= \displaystyle \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{(x + 1)^2}+ \frac{C}{(x − 3)}\), \(4 = \) \(A(x + 1)(x − 3) + B(x − 3) + C(x + 1)^2\), \(\left\{\begin{array}{l} 4 = −3A − 3B + C \text{…①}\\ 4 = −4B \text{…②}\\ 4 = 16C \text{…③}\end{array}\right.\), \(\begin{align}−3A &= 4 + 3B − C \\&= 4 − 3 − \displaystyle \frac{1}{4} \\&= \displaystyle \frac{3}{4}\end{align}\), \(\displaystyle \frac{4}{(x + 1)^2(x − 3)}\), \(= \displaystyle \frac{−\frac{1}{4}}{x + 1} + \frac{−1}{(x + 1)^2} + \frac{\frac{1}{4}}{(x − 3)}\), \(= \displaystyle −\frac{1}{4} \left\{ \frac{1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1)^2} − \frac{1}{(x − 3)}\right\}\), 答え: \(\displaystyle \frac{4}{(x + 1)^2(x − 3)} \) \(= − \displaystyle \frac{1}{4} \left\{ \frac{1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1)^2} − \frac{1}{(x − 3)}\right\}\), \(\displaystyle \frac{4x − 1}{(x − 2)^2}\) を部分分数分解せよ。, \(\displaystyle \frac{4x − 1}{(x − 2)^2} = \frac{A}{x − 2} + \frac{B}{(x – 2)^2}\), \(\left\{\begin{array}{l} A = 4 \text{…①}\\ −2A + B = −1 \text{…②}\end{array}\right.\), \(\displaystyle \frac{4x − 1}{(x − 2)^2} = \frac{4}{x − 2} + \frac{7}{(x − 2)^2}\), 答え: \(\displaystyle \frac{4x − 1}{(x − 2)^2} = \frac{4}{x − 2} + \frac{7}{(x − 2)^2}\), \(\displaystyle \int \frac{3}{x^2(x + 1)} \, dx\) を求めよ。, \(\displaystyle \frac{3}{x^2(x + 1)}\) のかたちのままでは積分できません。, \(\displaystyle \frac{3}{x^2(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x + 1}\), \(\left\{\begin{array}{l} 3 = B \text{…①}\\ 3 = C \text{…②}\\ 3 = 2A + 2B + C \text{…③}\end{array}\right.\), \(\displaystyle A = \frac{3}{2} − B − \frac{1}{2} C\), \(\displaystyle A = \frac{3}{2} − 3 − \frac{3}{2} = −3\), \(\begin{align} &\frac{3}{x^2(x + 1)} \\ &= −\frac{3}{x} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x + 1} \\ &= 3 \left( −\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1} \right) \end{align}\), \(\begin{align} &\int \frac{3}{x^2(x + 1)} dx \\ &= \int 3 \left(−\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1} \right) dx \\ &= 3 \int \left( −\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x + 1} \right) dx \\ &= 3 \left(−\log |x| − \frac{1}{x} + \log|x + 1| \right) + C \\ &= 3 \left( \log|x + 1| − \log|x| − \frac{1}{x} \right) + C \\ &= 3 \left( \log\frac{|x + 1|}{|x|} − \frac{1}{x} \right) + C \end{align}\), 答え: \(\displaystyle 3 \left( \log\frac{|x + 1|}{|x|} − \frac{1}{x} \right) + C\) (\(C\) は積分定数), 数列\(\displaystyle a_1 = \frac{3}{1}\), \(\displaystyle a_2 = \frac{3}{1 + 2} \), \(\displaystyle a_3 = \frac{3}{1 + 2 + 3}\), \(\cdots\)の一般項 \(a_n\)、および数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。, \(\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{1}{2} n(n + 1)\) になることから、問題の数列の一般項 \(a_n\) は求められます。, \(a_n\) を求めたあと、数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を部分分数分解を利用して求めましょう。, \(\displaystyle a_1 = \frac{3}{1}\), \(\displaystyle a_2 = \frac{3}{1 + 2}\), \(\displaystyle a_3 = \frac{3}{1 + 2 + 3}\), \(\cdots\), \(\begin{align} a_n &= \frac{3}{1 + 2 + 3 + \cdots + n} \\ &= 3 \times \frac{2}{n(n + 1)} \\ &= \frac{6}{n(n + 1)} \end{align}\), また、数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると、, \(\begin{align} S_n &= a_1 + a_2 + \cdots a_n \\ &= \sum_{k = 1}^n a_k \\ &= \sum_{k = 1}^n \frac{6}{k(k + 1)} \end{align}\), \(\displaystyle \frac{6}{n(n + 1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1}\) …(*), \(\begin{align}\displaystyle \frac{6}{n(n + 1)} &= \frac{6}{n} − \frac{6}{n + 1} \\&= 6 \left( \frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1} \right)\end{align}\), \(\displaystyle = \sum_{k = 1}^n \frac{6}{k(k + 1)} \), \(\displaystyle = \sum_{k = 1}^n 6 \left(\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1} \right) \), \(\displaystyle  = 6 \sum_{k = 1}^n \left(\frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1} \right) \), \(\displaystyle = 6 \left\{ \left(\frac{1}{1} − \frac{1}{2} \right) + \left(\frac{1}{2} − \frac{1}{3} \right) \\ + \left(\frac{1}{3} − \frac{1}{4} \right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1} \right) \right\}\), \(\displaystyle = 6 \left(1 − \frac{1}{n + 1} \right) \), \(\displaystyle = 6 \cdot \frac{n + 1 − 1}{n + 1} \), 答え: \(\displaystyle a_n = \frac{6}{n(n + 1)} , \displaystyle S_n = \frac{6n}{n + 1}\), (1) 数列 \(\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。, (2) 数列 \(\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を求めよ。, また、(2) のように分母が複雑な数列では、部分分数分解によって「 \(\displaystyle \frac{◯}{△} − \frac{×}{▽}\) 」のかたちを作ると、和の計算で前後に同じ項が現れて打ち消し合うことができます。, 問題の分母「\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3)\)」のように、隣り合う因数の \(n\) の値が \(1\) ずつ増えていくような場合は、最後の項を除く前半と最初の項を除く後半に部分分数分解すると、数列の和の計算がうまくいきます。(この場合 \(n(n + 1)(n + 2)\) と \((n + 1)(n + 2)(n + 3)\) ), (1) 数列 \(\displaystyle a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると, \(\displaystyle S_n = \sum_{k = 1}^n a_k = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}\), ここで、\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}\) の分母を有理化すると、, \(\begin{align} &\frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} \times \frac{\sqrt{k} − \sqrt{k + 1}}{\sqrt{k} − \sqrt{k + 1}} \\ &= \frac{\sqrt{k} − \sqrt{k + 1}}{k − (k + 1)} \\ &= \frac{\sqrt{k} − \sqrt{k + 1}}{−1} \\ &= \sqrt{k + 1} − \sqrt{k} \end{align}\), \(\begin{align} S_n &= \sum_{k = 1}^n \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} \\ &= \sum_{k = 1}^n (\sqrt{k + 1} − \sqrt{k}) \\ &= \sqrt{n + 1} − \sqrt{1} \\ &= \sqrt{n + 1} − 1 \end{align}\), (2) 数列 \(\displaystyle a_n = \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると, \(\begin{align} S_n &= \sum_{k = 1}^n a_k \\ &= \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)} \end{align}\), \(\displaystyle \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} = \) \(\displaystyle \frac{A}{n(n + 1)(n + 2)} + \frac{B}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\), \(\left\{\begin{array}{l} A + B = 0\\ 3A = 1\end{array}\right.\), \(\displaystyle \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \), \(= \displaystyle \frac{\frac{1}{3}}{n(n + 1)(n + 2)} + \frac{− \frac{1}{3}}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\), \(= \) \(\displaystyle \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right\}\), \(\displaystyle = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k(k + 1)(k + 2)(k + 3)}\), \(\displaystyle = \frac{1}{3} \sum_{k = 1}^n \left\{ \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right\}\), \(\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right\}\), \(\displaystyle = \frac{1}{3} \left\{ \frac{1}{6} − \frac{1}{(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \right\}\), \(\displaystyle = \frac{1}{3} \cdot \frac{(n + 1)(n + 2)(n + 3) − 6}{6(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\), \(\displaystyle = \frac{(n + 1)(n^2 + 5n + 6) − 6}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\), \(\displaystyle = \frac{n^3 + 5n^2 + 6n + n^2 + 5n + 6 − 6}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\), \(\displaystyle = \frac{n^3 + 6n^2 + 11n}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\), \(\displaystyle = \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\), 答え: \(\displaystyle \frac{n(n^2 + 6n + 11)}{18(n + 1)(n + 2)(n + 3)}\), 最初は式変形が難しいと感じるかもしれませんが、基本的にやることはいつも同じなので、たくさん問題を解いて慣れてくださいね!. $$\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$, 多くの人が特に問題なくできる微分だと思います。例を挙げるともっとよくわかると思いますので下に例を挙げておきます。, $$\left\{x^{2}(5x+3)\right\}’=2x(x+3)+5x^{2}$$, $$\scriptsize{(f(x)=x^{2}\quad,\quad g(x)=5x+3)}$$, 部分積分法を使用して問題を解く場合、この作業を最初から行うと暗記をしなくて済み汎用性が高くなります。, $-(x+1)cosx$を微分すれば、$(x+1)sinx$が出てくると考えます。, $$\left\{-(x+1)cosx\right\}’=-cosx+\textcolor{#ff0000}{(x+1)sinx}$$, $$-(x+1)cosx=\displaystyle\int_{}^{}-cosx+\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx}$$, 積分マークを付けたら順番を整えて、$\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx=$ の形にします。, $$\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx}=-(x+1)cosx-\displaystyle\int_{}^{}-cosx$$, $$\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinx=-(x+1)cosx+sinx+C$$, $$\begin{eqnarray}&①&(xe^x)’=e^x+\textcolor{#ff0000}{xe^x}\\\\&②&\frac{1}{2}x^{2}e^x=\textcolor{#ff0000}{xe^x}+\frac{1}{2}x^{2}e^x\end{eqnarray}$$, どちらで答えを出すことができるかの判断は特にありません。計算してみてうまくいかなければハズレと判断するだけです。, $$xe^x=\displaystyle\int_{}^{}e^x+\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}xe^x}$$, $$\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{}^{}xe^x}=xe^x-\displaystyle\int_{}^{}e^x$$, $$\textcolor{#ff0000}{\displaystyle\int_{0}^{1}xe^x}=\left[xe^x\right]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}e^x$$, $$\begin{eqnarray}\displaystyle\int_{0}^{1}xe^x&=&\left[xe^x\right]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}e^x\\\\&=&\left[xe^x\right]_{0}^{1}-\left[e^x\right]_{0}^{1}\\\\&=&e-(e-1)\\\\&=&1\end{eqnarray}$$, 数学を勉強するのに暗記が増えるのはよくありません。できるだけすでに暗記している知識から結び付けて考えることを強くお勧めします。(持論です。), 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, 部分積分の公式 $$\displaystyle\int_{}^{}f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)+\displaystyle\int_{}^{}f'(x)g(x)dx$$, さっきの微分の式 $\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ を積分します。, $\displaystyle\int_{}^{}(x+1)sinxdx=-(x+1)cosx+sinx+C$.

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